Edi Bauer rückte von der Jugendelf Rapids 1910 in die Kampfmannschaft auf. Seine Spielweise, die von Eleganz und einer hervorragenden Technik geprägt war, wich etwas vom typischen Rapid-Stil ab. Dennoch war er ein Rapidler durch und durch und ein vorbildlicher Sportler. Gemeinsam mit Uridil und Kuthan bildete er den damals torgefährlichsten Angriff Österreichs.

Bis 1927 spielte er für Rapid und wurde dabei 8 x Meister, 2 x Cupsieger und wurde 2 x Torschützenkönig. In 23 Länderspielen traf er 13 Mal. Kurz vor dem Ende seiner aktiven Laufbahn wurde er von Dionys Schönecker zum Trainer von Rapid bestellt und feierte in den folgenden Jahren auch hier große Erfolge. So wurde er 3 x Meister, 1 x Cupsieger und gewann mit Rapid 1930 auch den Mitropacup, nachdem er zuvor bereits 2 x erst im Finale gescheitert war.

Als nach 1945 der österreichische Fußball nach dem Krieg wieder neu aufgebaut werden musste, übernahm Bauer das Amt des ÖFB-Verbandskapitäns. In dieser Funktion verstarb Edi Bauer am 4. März 1948 überraschend an einem Magenleiden.